MATEMATIKA => Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem persamaan linier dua variabel adalah dua persamaan linier dan dua variabel yang hanya memiliki satu titik penyelesaian.

Bentuk umum :

a₁x + b₁y  = c₁

a₂x + b₂y  = c₂

Mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel ada 4 cara :

1.  metode grafik

2.  metode subsitusi

3.  metode eliminasi

4.  metode eliminasi dan subsitusi.

METODE SUBSITUSI

Metode subsitusi dimulai dengan menyatakan sebuah variabel dari salah satu sistem persamaan linier dua variabel dalam variabel lain.

Contoh Soal - 1

Himpunan penyelesian dari :

2x + y = 6 dan x – y = - 3, adalah . . .

a          . {(1,2)}

b        . {(1,4)}

c         . {(2,4)}

d        . {(2,-4)}

Pembahasan :

2x + y = 6 à y = 6 – 2x  ...............(1)

 x – y  = -3  .....................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

x  - y  = -3

x - ( 6 – 2x )  = -3

x – 6 + 2x      = - 3x

             -  6    = -3

              3x    = -3 + 6

              3x    = 3   à    x  =  1

Subsitusikan x = 1 ke persamaan (1),

maka:

 y  = 6 – 2x   

 y  = 6 – 2(1)

 y  = 6 – 2

 y  = 4

Jadi, Himpunan penyelesaiannya : {(1, 4)}

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari :

x – 3y = -7 dan  2x + 3y = 4 adalah . . .

a.  {(1,2)}

b. {(-1,2)}

c. {(-1,-2)}

d. {(2,-1)}

Pembahasan :

 x   - 3y   = -7 à  x = -7 + 3y  ...............(1)

 2x +3 y = 4  .........................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

2x  + 3 y  = 4

2( -7+ 3y) + 3y =4

-14  + 6y + 3y   = 4

                   9y   = 4 + 14

                    9y   = 18

                     y    = 2

Subsitusikan y = 2  ke persamaan (1),

maka:

x  =  -7 + 3y

    = -7 + 3 ( 2)

    = -7 + 6

    = - 1

Jadi,

Himpunan penyelesaiannya : {(-1, 2)}

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari :

3x – 2y = 7 dan  2x + y = 14 adalah {(a,b)}. Nilai a + b = . . ..

a.      4

b.      5

c.      7

d.     9

Pembahasan :

 2x   + y   = 14 à  y = 14 – 2x............(1)

 3x  -  2 y = 7.......................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

3x  - 2 y  = 7

3x – 2( 14 – 2x ) = 7

3x -28  + 4x        = 7

  7x   = 7 + 28

  7x   = 35

   x    = 5  à  a = 5

Subsitusikan x = 5  ke persamaan (1),

maka:

y  =  14 – 2x

    = 14 – 2(5)

    = 14 - 10

    = 4  à   b = 4

Nilai  a + b  =  5 + 4 

      =  9
METODE ELIMINASI

Metode eliminasi adalah cara untuk mendapatkan nilai pengganti suatu variabel melalui

penghilangan variabel yang lain. Untuk mengeliminasi suatu variabel, langkah pertama yang dilakukan adalah menyamakan koefisien variabel tersebut.

Contoh Soal - 1

Himpunan penyelesian dari :

2x + y = 6 dan x – y = - 3,  adalah . . .

a         .{(1,2)}

b        .{(1,4)}

c         .{(2,4)}

d        .{(2,-4)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

     2x + y  = 6

      x  –  y = -3

    --------------  + 

      3x       = 3

        x       = 1

Pembahasan :

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

    2x + y  = 6       x 1 à  2x + y      = 6

     x  –  y = -3      x 2 à  2x – 2y    = -6

                                         --------------  - 

                              3y   = 12

                                y   = 4

Jadi Himpunan penyelesaian : {(1,4)}.

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari :

x – 3y = -7 dan  2x + 3y = 4 adalah . .

a.  {(1,2)}

b. {(-1,2)}

c. {(-1,-2)}

d. {(2,-1)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

 x  – 3y = -7     Karena koefisien y sudah sama dan berlawanan langsung di eliminasi.

2x + 3y = 4

 --------------  +

3x         = - 3
  x         = - 1

Pembahasan :

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

  x  - 3 y  = -7      x 2 à  2x -  6 y  = -14

 2x + 3y  =  4        x 1à  2x + 3y   = 4

                                  -------------------  - 

                                           -9 y = -18

                                               y = 2

Jadi Himpunan penyelesaian : {(-1,2)}.

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari :

3x – 2y = 7 dan  2x + y = 14         adalah  . . ..

a         .  {(4, 5)}

b        .  {(5,4)}

c         .  {(-4,5)}

d        .  {(4,-5)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

 2x  +   y = 14    x 2 à  4x  + 2y  = 28

 3x  - 2 y = 7      x 1 à  3x   - 2y  =  7

                                   -----------------  +

                                    7x           = 35

                                      x           = 5

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

 2x  +  y = 14    x 3 à  6x  + 3y  = 42

 3x  -2 y = 7      x 2 à  6x   - 4y  =  14

                                  -----------------  -

                                            7y  = 28

                                              y  = 4

Jadi, himpunan penyelesaian : {( 5,4)}.